OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL (OSTN)
SISWA SMK
TAHUN 2008

Untitled Document
 
OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL (OSTN) SISWA SMK TAHUN 2008

Silabus Olimpiade

Matematika Teknik
Matematika Non Teknik
Fisika
Kimia
Biologi
Pemrograman ICT
 

 

11/18/2008

 

 

Kisi – Kisi Materi OSTN 2008

Matematika

 

 

 

 

Science Centre ITS


 

Kisi – Kisi Materi OSTN 2008

TEORI BILANGAN

 

1.       KETERBAGIAN ( DIVISIBILITY)

 

Definisi :

Jika  adalah bilangan-bilangan bulat, maka dikatakan a membagi b ditulis  , jika terdapat bilangan bulat c sehingga

Jika a tidak membagi b ditulis

 

Sifat keterbagian

a. Jika dan , maka terdapat bilangan-bilangan bulat    sehingga . Ini berarti c membagi setiap kombinasi linear dari a dan b.

b. Jika dan , maka  ( sifat transitif).

 

c. Jika setiap tiga bilangan bulat dalam  habis dibagi oleh d, maka bilangan yang ketiga  juga habis dibagi oleh d.

 

Contoh :

 

Tunjukkkan bahwa untuk semua bilangan bulat a dan b , maka 3 membagi   

Jawabnya:

                                       .

Karena 3 membagi , maka 3 membagi .

 

Teorema 1

Hasil kali n bilangan bulat berurutan habis dibagi  .

 

Bukti :

Diberikan n bilangan bulat berurutan  adalah   yang semuanya positif . Sekarang pandang koefisien binomial berikut :

 

       

 

                          =

Bahwa koefisien binomial jelas merupakan bilangan bulat. Ini berarti terdapat bilangan bulat katakan bilangan  sehingga

 dan juga jika salah satu dari bilangan bulat berurutan adalah 0, maka jelas habis dibagi .

Contoh:

Buktikan  untuk setiap bilangan bulat .

Bukti :

 adalah perkalian tiga bilangan berurutan , oleh karena itu habis dibagi .

 

 

2.       ALGORITMA PEMBAGIAN

 

Setiap bilangan bulat dapat direpresentasikan secara tunggal dalam bentuk

                        .

Dengan b>0  bilangan bulat yang disebut pembagi, dan q bilangan bulat yang disebut hasil bagi dan bilangan bulat  r  disebut sisa.

 

Dengan algoritma pembagian, bilangan bulat akan dipartisi sesuai dengan sisanya. Misal untuk  a = 2, maka bilangan bulat dipartisi menjadi dua kelompok yaitu :

Karena itu semua bilangan berbentuk  2k  atau  2k+1 . Jika  a = 4, maka semua bilangan bulat dipartisi menjadi  4  yaitu :

Karena itu bilangan bulatnya berbentuk 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3. Setiap bilangan bulat yang berbentuk 4k+1 juga berbentuk 4p-3 dan setiap bilangan bulat yang 4k+3 juga berbentuk 4p-1.

 

Contoh :

Tunjukkan kwadrat setiap bilangan bulat berbentuk  4k  atau  4k+1.

Jawab:

Jika  n  genap, maka  n = 2p sehingga  yaitu , dan jika  n ganjil maka  n = 2p + 1, sehingga .

 

Contoh :

Tunjukkan bahwa tidak ada barisan   merupaKan kwadrat sempurna.

 

Jawab:

Jelas 11 , 111  bukan kwadrat sempurna . Selanjutnya perhatikan bentuk berikut :

       

                  

                                = 100. 111…….1  +  12 + -1

                                        (n-2) angka 1

                               

                                = 4 ( 25. 1111…..1 +3 ) -1

                                = 4k – 1.

 

Dengan demikian setiap suku barisan itu berbentuk  4k-1. Dari contoh sebelumnya, tidak ada kwadrat sempurna dari bilangan bulat berbentuk  4k – 1.

 

 

3.       FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB)

 

Diberikan a,b  bilangan bulat yang salah satunya tak nol FPB dari  a dan  b  , misalkan adalah  d dituliskan    adalah bilangan bulat positip terbesar yang membagi  a  dan  b.

FPB dari setiap dua bilangan bulat a dan b dapat dituliskan sebagai kombinasi linear  a dan b, yaitu :

          dengan  x dan y  bilangan bulat.

Dengan menggunakan algoritma pembagian berulang-ulang dapat diperoleh FPB dari dua bilangan bulat. Misalkan a,b  bilangan bulat dengan  , menurut algoritma pembagian :

 

       

       

                        :

                        :

       

       

 

Barisan sisa   dengan   jika  adalah barisan monoton turun dari bilangan-bilangan bulat.

 

Teorema 2

Jika  adalah sisa terakhir yang nilainya tak nol pada proses algoritma pembagian, maka  .

 

Bukti :

Berdasarkan proses algoritma pembagian

       

       

       

        :

        :

       

Misal , dari persamaan pertama , dan dari persamaan kedua    dan seterusnya sampai  . Tetapi jika mulai dari persamaan terakhir dan bergerak keatas pada proses algoritma pembagian diperoleh  , ,….., , ,  . ini berarti bahwa  adalah factor persekutuan dari a dan b,  juga  .

Secara sederhana algoritma pembagian prosesnya dapat dituliskan :

                ==== …….==

                Atau cukup ditulis =

 

Contoh :

Tentukan

Penyelesaian :

Gunakan algoritma pembagian berulang-ulang,

               

               

      yaitu .

Boleh juga dikerjakan dengan cara berikut :

====6

Jika dua bilangan bulat a dan b mempunyai , maka dikatakan kedua bilangan bulat itu prima relatip. Sebelumnya sudah disebutkan bahwa dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari  a  dan b, sebagai contoh untuk bilangan  48 dan 30 diproses sebagai berikut :

  

  

  

  

        

Ini berarti bahwa   dengan   dan 

Bila FPB dari dua bilangan bulat  a  dan  b sudah diperoleh , maka Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dapat diperoleh dengan menggunakan hubungan :

 

       

Persamaan Diophantin Linear

Persamaan Diophantin adalah persamaan yang memuat dua atau lebih variabel bulat.

Yang antara lain persamaan diophantin linear dalam dua variabel :

         , dengan    konstanta bulat  dan

   adalah  variabel bilangan bulat

Contoh :

Selesaikan

Penyelesaian :

Dapat dituliskan  sebagai  .

Agar bulat, maka haruslah  bulat, misalkan , maka

                          sehingga

                       

                       

Agar bualat, maka  harus bulat, misalkan  

                        Sehingga  atau  , 

Dengan demikian diperoleh

                       

Dan               

Sehingga didapatkan  dan    dengan sembarang bulat

 

 

t

0

1

2

-1

-2

x

5

-15

-35

25

45

y

-1

6

13

-8

-15

 

Jika diinginkan jawaban positip , artinya  dan , maka  harus memenuhi

Kedua persamaan yaitu :  dan  dengan  bilangan bulat. Tentu saja tidak mungkin, artinya persamaan diatas tidak mempunyai jawab positip.

 

Agar  persamaan dapat diselesaikan ( mempunyai penyelesaian bulat) , maka   harus  membagi .

 

 

4.       KONGRUENSI

 

Definisi :

Misal , bilangan bulat, Kongruen dengan  modulo , ditulis  jika dan    mempunyai sisa yang sama bila dibagi oleh

 

Teorema 3

Missal , bilangan bulat  jika dan hanya jika .

Bukti :

Assumsikan bahwa . Dengan algoritma pembagian terdapat bilangan bulat dengan  sehingga  dan   yaitu dan  memberikan sisa yang saman bila dibagi oleh  . karena itu , jadi  .

 Sebaliknya jika . , maka terdapat bilangan bulat  sehingga  . Assumsikan  dan  dengan  , maka

 ,

atau

   yaitu    . .

Jika  , maka diperoleh  yang berarti  dan  mendapatkan sisa yang sama jika dibagi oleh .

Berdasarkan Definisi dan Teorema 3 diperoleh hubungan sebagai berikut:

       

 

Sifat-sifat Kongruensi

Jika dan adalah bilangan-bilangan bulat dengan  dan ,  maka :

a)

b)

c)

d)

e) Jika  adalah polynomial dengan koefisien-koefisien bilangan bulat, maka   

    berlaku

Bila  , , maka  Berlaku aturan Kanselasi.

 

Contoh :

Tentukan sisanya jika  dibagi oleh 37

Jawab :

Perhatikan bahwa

Dengan demikian,

           

                       

                            

Jadi sisanya adalah 31.

Untuk memudahkan menentukan kongruensi diperlukan fungsi yang disebut fungsi Euler dan juga diperlukan Teorema Euler.

 

 

Fungsi Euler

 adalah fungsi yang menyatakan banyaknya bilangan bulat positif yang lebih kecil dari dan prima relatif terhadap .

 

Contoh :

Tentukan .

 Jawab :

Bilangan bulat positip yang kurang dari 24 dan prima relatif terhadap 24 

adalah :  1, 5 , 7, 11, 13 , 17 , 19 , 23.

Jadi .

 

Sifat-sifat

a) Jika  adalah bilangan prima, maka

b) Jika  adalah bilangan bulat yang dapat ditulis sebagai ,

       

( Dapat difaktorkan atas factor-faktor prima) dengan  bilangan prima dan  pangkat dari bilangan prima  , maka

 

Teorema Euler

Diberikan bilangan bulat positip. Jika , maka

 

Contoh:

Tentukan sisanya jika  dibagi oleh 13.

Jawab:

Dalam Hal ini  bilangan prima sehingga , menurut teorema Euler

       

karena itu

             

                       

                       

                       

jadi sisanya adalah 10.

 

5.       KETERBAGIAN SUATU BILANGAN

 

Pada bagian ini akan dicoba untuk melihat sifat bilangan bulat positip jika dibagi suatu bilangan bulat.n .  Sebagai contoh ilustrasi bagaimana sifat bilangan bulat :

            ,  Agar dapat dibagi 2.

Bilangan  dapat ditulis sebagai

       

       

 

Suku pertama dari  dapat dibagi 2, sehingga supaya  habis dibagi 2, maka  harus habis dibagi 2. Karena itu habis dibagi 2, jika adalah  0, 2 , 4 , 6 atau 8.

 

Metode seperti ini dapat digunakan untuk keterbagian suatu bilangan jika pembaginya adalah 4, 5 , 8 , 16 , dan 25.

 

Bagaimana jika  habis dibagi oleh 3.

Dapat dituliskan 

                                         

                                               

pada suku pertama dari , yaitu  selalu habis dibagi oleh 3. Karena itu agar supaya  habis dibagi 3, maka  harus habis dibagi 3. Bukti ini adalah sama untuk habis dibagi 9.

 

Contoh berikutnya akan dicari sifat  bilangan bulat jika habis dibagi 11.

Dapat dituliskan bilangan bulat

 

Suku pertama dari  , yaitu   untuk setiap k selalu habis dibagi 11. Oleh karena itu supaya  habis dibagi 11, maka

harus habis dibagi 11.