OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL (OSTN)
SISWA SMK
TAHUN 2008

Untitled Document
 
OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL (OSTN) SISWA SMK TAHUN 2008

Silabus Olimpiade

Matematika Teknik
Matematika Non Teknik
Fisika
Kimia
Biologi
Pemrograman ICT
 

 

11/18/2008

 

 

Kisi – Kisi Materi OSTN 2008

Matematika

 

 

 

 

Science Centre ITS


 

Geometri Datar:

Garis Bagi,Garis Tinggi dan Garis Berat pada Segitiga

 1.Garis Bagi pada Segitiga

 

a.Garis Bagi Dalam.

Perhatikan segitiga ABC berikut(Gambar 1).

                                           㷈ҋ㷐ҋx

Garis CD adalah garis bagi sudut ACB (sudut ACD=sudut BCD).Selanjutnya dari titik A ditarik sebuah garis sejajar CD yang memotong perpanjangan garis BC di E(Gambar 2).

 

                                            㾈҅㾐҅x

Karena AE sejajar CD,maka sudut CAE=sudut AEC=sudut ACD=sudut BCD. Dari segitiga BCD dan segitiga BEA diperoleh,

 

Sudut BCD=sudut BEA

Sudut BDC=sudut BAE

Sudut DBC=sudut ABE

 

Dengan demikian segitiga BCD sebangun dengan  segitiga BEA,sehingga berlaku  perbandingan

Dari  dapat ditulis

atau

 

Sebab EC=AC.Garis bagi dalam sebuah sudut pada suatu segitiga membagi sisi dihadapan atas dua bagian yang berbanding sebagai sisi-sisi yang berdekatan.Selanjutnya dengan menggunakan sifat perbandingan senilai diperoleh

 

dan

 

 

Karena AD+BD=AB,maka

 

CATATAN:

Diketahui bilangan a,b,c dan d.Perbandingan  a:b = c:dekivalen dengan

 

1. (a+c): (b+d) = c:d

2. (a+b) : (c+d) = a:c

3. (a-b) :  (c-d) = a:c

4. (b-a) : (d-c) = a:c

5. (a-b) : (c-d) = b:d

6. (b-a) : (d-c) = b:d

 

 

b.Garis Bagi Luar.

Diketahui segitiga ABC seperti dibawah ini (Gambar 3).

                                            죨࠴죰࠴x

Sisi BC dan AB masing-masing diperpanjang sampai E dan D. Melalui titik D tarik garis ke C sehingga garis CD membagi sudut ACE menjadi dua bagian sama besar(Gambar 4).Garis CD disebut garis bagi luar.Selanjutnya dari titik A tarik garis ke sisi BC yang sejajar CD(Gambar 5).

쓀쓈x

Dari Gambar 5 jelas sudut CAE=sudut CFA=sudut ACD=sudut DCE.Karena itu segitiga CAF sama kaki.Dari Gambar 5,segitiga AFB sebangun dengan segitiga DCF(sebab sudut ABF=sudut DBC,sudut BFA=sudut BCD dan sudut BAF=sudut BDC),sehingga  diperoleh perbandingan

 

                                

                                           

                                                                

Juga karena  ,maka diperoleh

 

                                

                                            

                                                                

 

2.Garis Tinggi pada Segitiga

Perhatikan segitiga ABC dengan AD,BE dan CF masing-masing adalah garis tinggi pada sisi BC,AC danAB(Gambar 6).

                                    麀麈x

Jika s=1/2(a+b+c) adalah setengah keliling segitiga ABC,dengan a=BC,b=AC dan c=AB,maka dengan menggunakan Dalil Proyeksi dan Dalil Pythagoras diperolehn rumus garis tinggi

Karena itu perbandingan garis tinggi adalah

 

Jika panjang semua sisi dari segitiga diketahui,maka luas segitiga ABC adalah

 

                                 

 

3.Garis Berat pada Segitiga.

Perhatikan segitiga ABC berikut(Gambar 7).Diketahui DB=DC dan EA=EC.

                                    㞘㞠x

Karena CE:CA=ED:AB=CD:CB=1:2,maka ED sejajar AB.dan ED=1/2AB.Akibatnya sudut ADE=sudut BED.Jadi segitiga ABZ sebangun dengan segitiga DEZ.Dengan demikian

ZA:ZD=ZB:ZE=AB:DE=2:1

 

Artinya titik berat Z membagi garis berat segitiga dengan perbandingan 2:1.

Selanjutnya pandang segitiga ABC berikut(Gambar 8) dengan AD,CF dan BE garis berat.

                                   烠ࡉ烨ࡉx

Menurut Dalil Stewart dapat dicari panjang garis berat sebagai berikut.

 

                            

                                           

                                  

 

Dengan cara yang sama diperoleh panjang garis berat yang lain,yaitu

 

                                  

 

 

Geometri Datar

Dalil Proyeksi pada Segitiga

1.Dua Segitiga yang Kongruen.

Dua segitiga dikatakan kongruen (sama dan sebangun) jika sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.Karena kongruen, segitiga yang satu dapat menutup segitiga yang lain.

 

2. Dua Segitiga yang Sebangun.

Definisi :Dua segitiga dikatakan sebangun,bila:

a.Sisi-sisi yang seletak panjangnya sebanding.

b.Sudut-sudut yang bersesuaian(berkaitan) sama besar.

          Berdasarkan definisi tersebut,dapat juga dikatakan,dua segitiga sebangun bila

1.Tiga pasang sisinya sebanding.

2.Dua pasang sisinya sebanding dan sudut apitnya sama besar.

3.sepasang sisi panjangnya sebanding dan dua sudut yang berkaitan sama besar.         룀룈x

Segitiga ABC dan segitiga PQR sebangun.Jelaskan.

 

3.Dalil Proyeksi pada Segitiga Siku-Siku.

   Perhatikan  segitiga ABC berikut.BD adalah proyeksi BC pada AB dan AD adalah      proyeksi AC pada AB.

  篸"簀"x

Perhatikan Gambar 4 dan Gambar 5 yang diperoleh dari Gambar 3.Dengan menggunakan Gambar 4 ,Gambar 5 dan kesebangunan diperoleh

 Dalam hal ini,BD adalah panjang proyeksi BC pada AB.Selanjutnya dari Gambar 3,diperoleh dua segitiga yang sebangun,yaitu segitiga ACD dan segitiga ABC.Dengan menggunakan kesebangunan diperoleh hasil:

dengan AD adalah panjang proyeksi AC pada AB.

Selanjutnya perhatikan bahwa segitiga ACD dan segitiga BCD juga sebangun(Gambar 3).Tunjukkan .

4.Dalil Proyeksi pada Segitiga Lancip

 

Perhatikan segitiga ABC berikut:

 

                                 䦸֛䧀֛x

Pada Gambar 6,BE,AD dan CF masing-masing merupakan garis tinggi pada sisi AC,BC dan AB.Dengan menggunakan Dalil Pythagoras,diperoleh

 

 

 

 

Dari rumus tersebut,AF adalah panjang proyeksi AC pada AB,AE adalah panjang proyeksi AB pada AC dan seterusnya.

5.Dalil Proyeksi pada Segitiga Tumpul.

 

  Perhatikan segitiga berikut:

                                                  Ɉ׹ɐ׹x                                          

Seperti pada segitiga lancip,dapat diperoleh:

 

 

 

Dari rumus tersebut,AE adalah panjang proyeksi AB pada AC,AF adalah panjang proyeksi AC pada AB dan seterusnya.

 

6.Dalil Stewart

 

Diketahui segitiga ABC dengan CD adalah sebarang garis yang membagi sisi AB.                               

                                         ﹐Ҁ﹘Ҁx

Dalil Stewart adalah

 

Dalil ini digunakan untuk menghitung panjang garis yang menghubungkan titik puncak sebuah segitiga dengan salah satu titik garis alas.Titik D adalah titik garis alas.Dengan menggunakan Dalil Proyeksi,Dalil Stewart dapat dibuktikan sebagai berikut.Pada segitiga BCD dan segitiga ACD masing-masing berlaku

 

DE dieliminasi dengan mengalikan masing-masing persamaan dengan AD dan BD sehingga diperoleh

 

Keduanya dijumlahkan dan setelah disederhanakan diperoleh

 

 

Lingkaran

 

1.Bagian-bagian Lingkaran

 

 Lingkaran adalah himpunan titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap titik tertentu .Titik tertentu disebut pusat lingkaran dan jarak yang sama disebut jari-jari.Perhatikan gambar berikut.